Поздравления и пожелания.

Поздравления и пожелания. Конструкция:
Я поздравляю + существительное (в В.п.) + с + существительным (в Т.п.)
Я желаю + существительному (в Д.п.) + существительное (в Р.п.)

Примеры:
Я поздравляю сестру с праздником.
Мы поздравляем вас с рождением дочки!

Я желаю вам счастливого Рождества!
Она желает тебе удачи!
Он желает ей отличного вечера!
Они желают ему хороших выходных!
Мы желаем им интересной поездки!

Можно сказать сокращённо:

Я, мы + Поздравляю
1) поздравляю + тебя, вас, Вас + с + существительным (в Т.п.)
2) поздравляю + с + существительным (в Т.п.)
3) с + существительным (в Т.п.)

Я, мы + Желаю
1) желаю + тебе, вам, Вам + существительное (в Р.п.)
2) желаю + существительное (в Р.п.)
3)существительное (в Р.п.)

Примеры сокращений:
Мы поздравляем вас с Новым годом!
Поздравляем вас с Новым годом!
Поздравляем с Новым годом!
С Новым годом!

Я желаю тебе счастья!
Желаю тебе счастья!
Желаю счастья!

Какие поздравления нельзя сократить?

Убрать из предложения субъект (желающий или поздравляющий) и объект (которому желают и которого поздравляют) можно только в том случае, если это Я или Мы желаем Тебе или вам (Вам), как это сделано в примерах выше.
Если же Вы говорите, что кто-то другой желает кому-то счастья или кого-то поздравляет, то Вам необходимо использовать полные формы этих конструкций.

Например:
Дети поздравляют Ваню с днём рождения.

Нельзя сказать: "поздравляют Ваню с днём рождения" или "поздравляют с днём рождения", потому что при этом потеряется смысл предложения.

Разные примеры:
Я поздравляю тебя с днём рождения!
С днём рождения! (Я или Мы поздравляем тебя, вас или Вас)
С рождеством! (Я или Мы поздравляем тебя, вас или Вас)
Желаем вам счастья! (Мы желаем)
Счастья! (Я или Мы желаем тебе, вам или Вам)
Удачи! (Я или Мы желаем тебе, вам или Вам)
Здоровья! (Я или Мы желаем тебе, вам или Вам)
Хорошо тебе сдать экзамен! (Я или Мы желаем)

Как звучит любое из пожеланий или поздравлений Вы можете услышать в разговорнике Ruspeach - www.ruspeach.com/phrases/166/